Continuity of the straight line path for convex sets (Q1097467)

X désigne un espace vectoriel topologique localement convexe, C(X) l'ensemble de ses parties convexes, fermées et non vides; la topologie sur C(X) se déduit de la structure uniforme définie de la manière suivante: à chaque voisinage V de l'origine on associe l'entourage formé des couples (A,B) vérifiant \(A\subset B+V\) et \(B\subset A+V\). Le plus court chemin \(\phi\) (\(\alpha)\) entre deux éléments A et B de C(X) est l'adhérence de \(\alpha A+(1-\alpha)B\) pour \(0\leq \alpha \leq 1\). Pour deux tels éléments les propriétés suivantes sont équivalentes: \(\phi\) est continue sur [0,1]; \(\phi\) est continue en 0 et en 1; A et B appartiennent à la même composante connexe par arcs; A et B appartiennent à la même composante connexe. On notera que dans le cas A et B admettent les mêmes directions de récession; pour A une de celles-ci est un vecteur z de X tel que \(a+z\) appartienne à A pour tout élément a de A.