Problème de la couronne pour des domaines pseudoconvexes à bord lisse. (The current problem for pseudoconvex domains with smooth boundary) (Q1097987)

Le problème de la couronne sur un domaine \(\Omega\) de \({\mathbb{C}}^ n\) consiste à savoir si, étant données des fonctions \(f_ 1\), \(f_ 2,...,f_ k\in H^{\infty}(\Omega)\) satisfaisant \[ (*)\quad \sum^{k}_{1}| f_ j| \geq \delta >0\quad dans\quad \Omega, \] il existe \(g_ 1,g_ 2,...,g_ k\in H^{\infty}(\Omega)\) telles que \[ (**)\quad \sum^{k}_{1}f_ jg_ j=1\quad dans\quad \Omega. \] On sait d'après des résultats de J. J. Kohn que si \(\Omega\) est pseudoconvexe à bord lisse et si les \(f_ j\in A({\bar \Omega})=H^{\infty}(\Omega)\cap C({\bar \Omega})\) alors il existe des \(g_ j\in A({\bar \Omega})\) vérifiant (**). Le but de cet article est de construire dans \({\mathbb{C}}^ 3\) un domaine pseudoconvexe à bord lisse tel que - \(\partial \Omega\) est strictement pseudoconvexe sauf en un point \(0\in \partial \Omega\) - Il existe des fonctions \(f_ 1\), \(f_ 2\), \(f_ 3\in H^{\infty}(\Omega)\cap C({\bar \Omega}\setminus \{0\})\) vérifiant (*) telles que (**) n'admette pas de solutions dans \(H^{\infty}(\Omega).\) La construction utilise de manière fondamentale l'exemple d'un domaine de Runge \(U\subset {\mathbb{C}}^ 2,\) donné par l'auteur en 1975, qui possède les propriétés suivantes - \(\bar U^{\circ}=U\subset \Delta^ 2\), \(U\neq \Delta^ 2(\Delta^ 2=\) bidisque unité) - Toute fonction de \(H^{\infty}(U)\) se prolonge en une fonction de \(H^{\infty}(\Delta^ 2\)).