One node extensions of buildings (Q1100433)

Ein Kammersystem \({\mathcal C}=({\mathcal C},({\mathcal P}_ i)_{i\in I})\) über einer Indexmenge I ist eine Menge von Kammern mit Partitionen \({\mathcal P}_ i\), \(i\in I\), von \({\mathcal C}\); die Mächtigkeit von I ist der Rang von \({\mathcal C}\). Ist \(J\subseteq I\), so sei \(\Delta_ J\) die (verbandstheoretische) Vereinigung der Partitionen \({\mathcal P}_ j\), \(j\in J\); besteht \(\Delta_ I\) nur aus einem Element, so ist \({\mathcal C}\) zusammenhängend. Die Kammern des das Element c enthaltenden Gliedes G(c) von \(\Delta_ J\) bilden ein Kammersystem \(\Delta_ J(c)\), wenn man die Partitionen \({\mathcal P}_ j\), \(j\in J\), auf G(c) restringiert. Ein Kammersystem heißt straff, wenn ein \(i\in I\) existiert, so daß \(\{\) \({\mathcal C}\}=\Delta_{I\setminus \{i\}}(c)\) gilt. Ein zusammenhängendes Kammersystem \({\mathcal C}\) über I ist ein klassisches Titssches Kammersystem, wenn für jedes \(c\in {\mathcal C}\) und jedes Paar i,j\(\in I\) das Kammersystem \(\Delta_{\{i,j\}}(c)\) entweder ein klassisches verallgemeinertes \(m_{ij}\)-gon (mit \(m_{ij}\geq 3)\) oder ein verallgemeinertes Digon ist; \({\mathcal C}\) hat die Charakteristik p, wenn alle \(\Delta_{\{i,j\}}(c)\), die keine verallgemeinerten Digone sind (unabhängig von \(\{\) i,j\(\})\), über Körpern derselben Charakteristik p definiert sind. Eine Geometrie \(\Gamma\) über der Indexmenge I ist ein Tripel (V,*,\(\tau)\), wobei V die Menge der Objekte, die Typenabbildung \(\tau\) eine surjektive Abbildung von V auf I und * eine Inzidenzrelation auf V ist, so daß v*w und \(\tau (v)=\tau (w)\) genau dann gilt, wenn \(v=w\) ist. \(\Gamma\) ist zusammenhängend, wenn der Inzidenzgraph von \(\Gamma\) zusammenhängend ist; eine Fahne F von \(\Gamma\) ist eine Teilmenge paarweise inzidierter Objekte. Das Residuum \(\Gamma_ F\) einer Fahne F ist eine Geometrie, deren Objekte die mit allen Elementen aus F inzidenten, aber nicht zu F gehörenden Objekte von V sind; die Inzidenz sowie Typenabbildung von \(\Gamma_ F\) sind die Restriktionen von * und \(\tau\) der Geometrie \(\Gamma\), und \(\tau\) (F) nennt man den Typ von \(\Gamma_ F\). Die Geometrie \(\Gamma\) is residuell zusammenhängend, wenn sie zusammenhängend ist, die Geometrie \(\Gamma_ F\) für jede Fahne F von \(\Gamma\) mit \(| I-\tau (F)| =1\) nicht leer und für jede Fahne F von \(\Gamma\) mit \(| I-\tau (F)| \geq 2\) zusammenhängend ausfällt. Eine residuell zusammenhängende Geometrie heißt eine klassische Titsgeometrie, wenn die Residuen \(\Gamma_ F\) vom Typ \(I-\{i,j\}\) verallgemeinerte \(m_{ij}\)-gone sind, die für \(m_{ij}\geq 3\) von einer Chevalley-Gruppe herkommen. Sowohl einem Kammersystem als auch einer Titsgeometrie über I kann man einen Graphen \(\Delta\) (I) zuordnen, indem man die Ecken i,j\(\in I\) mit einer \((m_{ij}-2)\)-fachen Kante verbindet. Es sei \({\mathcal C}\) ein klassisches straffes Titssches Kammersystem der Charakteristik \(p\neq 3\) über der Indexmenge I und zusammenhängendem Diagramm \(\Delta =\Delta (I)\) vom Rang \(\geq 3\), so daß für alle Untermengen \(J\subseteq I\), für die \(\Delta_{(I\setminus J)}(c)\) vom Rang 3 ist und zusammenhängendes Diagramm besitzt, dieses vom Typ \(A_ 3\) oder \(C_ 3\) ist. Der Verfasser bestimmt alle solchen \({\mathcal C}\), die eine kammertransitive Automorphismengruppe G mit endlichen Borelgruppen \(B=G_ c\) zulassen. Mit Hilfe dieser Klassifikation ist der Autor in der Lage, die klassischen Titsgeometrien \(\Gamma\), deren zugehörige Kammersysteme eine Charakteristik \(\neq 3\) haben und die eine fahnentransitive Automorphismengruppe mit endlichen Stabilisatoren maximaler Fahnen zulassen, zu klassifizieren, falls \(\Gamma\) außerdem ein zusammenhängendes Diagramm \(\Delta\) hat und die beiden folgenden Bedingungen erfüllt: (1) Für die Indexmenge I gilt \(| I| \geq 3\), und jedes zusammenhängende Unterdiagramm des Ranges 3 von \(\Delta\) ist vom Typ \(A_ 3\) oder \(C_ 3\). (2) Es gibt kein \(x\in \Gamma\), so daß x*y für alle y mit \(\tau\) (y)\(\neq \tau (x)\) gälte. Der Verfasser bemerkt, daß die Bedingung (2) vielleicht entbehrlich ist, denn sie kommt in die Betrachtungen nur durch die Benutzung eines Ergebnisses von \textit{F. G. Timmesfeld} [Math. Z. 184, 377-396 (1983; Zbl 0521.20007), ibid. 449-487 (1983; Zbl 0518.20036)].