On a certain covariant representation functor and irreducible modules of Chevalley groups (Q1100562)

Sei G eine Chevalley-Gruppe definiert über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K. Sei B eine Borel-Untergruppe, dann ist \(B=UH\), wobei U eine maximale zusammenhängende unipotente Untergruppe und H eine maximale Ringfläche sind. Sei \(\lambda\) : \(B\to K\) * ein linearer Charakter von B in K *, wobei K \(*=K-\{0\}\), dann können wir drei Typen von induzierten Darstellungen von \(\lambda\) auf G definieren. Nämlich \(\lambda\) \(G_ B=\{f: G\to K|\) f ist eine Abbildung von G in K mit \(f(bg)=\lambda (b)f(g)\) für jedes \(b\in B\) und \(g\in G\}\). (G. W. Mackey 1951). Wir definieren \(g*f\in \lambda\) \(G_ B\) durch \(g*f(x)=f(xg)\), wobei g,x\(\in G\) and \(f\in \lambda\) \(G_ B\). Sei \({\bar \lambda}\) eine Abbildung von G in K mit \({\bar \lambda}\)(x)\(=0\), wenn \(x\in G-B\), und \({\bar \lambda}| B=\lambda\), dann gilt \({\bar \lambda}\in \lambda\) \(G_ B\) und \(KG\otimes _{KB}L\cong KG*{\bar \lambda}\), wobei L ein eindimensionaler KB-Modul ist, der den Charakter \(\lambda\) gibt. When \(\lambda\) rational ist, d.h. \(\lambda\) zum Koordinatenring K[B] von B gehört, dann setzen wir \(ind\) \(G_ B\lambda =\{f\in K[G]|\) \(f(bg)=\lambda (b)f(g)\) für jedes \(b\in B\) und \(g\in G\}\), d.h. \(ind\) \(G_ B\lambda =K[G]\cap \lambda\) \(G_ B\), wobei K[G] der Koordinatenring von G ist. \(ind\) \(G_ B\lambda\) und KG*\({\bar \lambda}\) sind KG-Teilmoduln von \(\lambda\) \(G_ B\), und diese drei induzierten Darstellungen sind isomorph, wenn G endlich ist. In dieser Arbeit gebe ich eine Anwendung von diesen induzierten Darstellungen in der modularen Darstellungstheorie von G über K.