Une remarque sur le problème de Cauchy analytique. (A remark on the analytic Cauchy problem) (Q1101877)

L'A. considère les relations entre le problème de Cauchy, au voisinage de l'origine de \({\mathbb{C}}^{d+1}\) pour un système d'equations linéaires aux derivées partielle et un problème associé (contenant un paramètre complexe). Plus précisément, soit \(P(t,\partial_ t,\partial_ x)\) une \(N\times N\) matrice d'opérateurs différentiels linéaires à coefficients holomorphes en t au voisinage de l'origine, et \(\Lambda\) un sous-ensembles fini de \(\{1,2,...,N\}\times \{0,1,2,...\}\). On considère le P. C. \[ (PC)\quad P(t,\partial_ t,\partial_ x)U(t,x)=F(t,x);\quad \partial^ k_ tU_ j(0,x)=\phi_{jk}(x)\text{ pour } (j,k)\in \Lambda \] et le problème associé \[ (PC)_{\xi}^ P(t,\partial_ t,\xi)\hat U(t,\xi)=F(t),\quad \partial^ k_ t\hat U_ j(0,\xi)=\phi_{jk}\quad (j,k)\in \Lambda, \] où dans \(P(t,\partial_ t,\xi)\), les dérivations \(\partial_ x\) sont remplacées par le paramètre complexe \(\xi\), les données F(t,x), F(t), \(\Phi_{jk}(x)\) sont holomorphes au voisinage de l'origine et \(\phi_{jk}\) sont des nombres complexes. Dans le cas d'une seule équation \textit{S. Mizohata} [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. 5, 559-566 (1978; Zbl 0425.35003)] a montré que l'existence et l'unicité pour le (PC) et équivalente à la croissance d'ordre exponentiel en \(\xi\) de la solution du \((PC)_{\xi}\) lorsque \(\xi\to \infty\). L'A. énonce trois sortes de correspondences entre le (PC) et le (PC). L'hypothèse de base est que ``H'': L'unicité de la solution holomorphe du (PC) est assurée. Alors (Théorème 1). On a l'equivalence: (I) le (PC) est bien posé au sens de Cauchy-Kowalevsky (II). Le (PC) est bien posé au sens suivant: Pour tout \({\tilde \rho}>0\) et \(\epsilon >0\) donnés, il existe \(\rho >0\) telles que pour toutes \(F(t)\in H^ N(B_{{\tilde \rho}})\) et \(\phi_{jk}\in {\mathbb{C}}\) ((j,k)\(\in \Lambda)\) il existe une et une seule solution \(\hat U(t,\xi)\in H^ N(B_ p\times {\mathbb{C}})\) du \((PC)_{\xi}\) telle que pour \(\forall \delta\), \(0<\delta <\rho\) il existe \({\tilde \delta}\) \((0<{\tilde \delta}<{\tilde \rho})\) et \(C>0\) tels que pour tout \(\xi\): \[ \| \hat U(.,\xi)\|_{B_{\rho}}\leq C[\| F\|_{B_{{\tilde \rho}}}+\sum_{(jk)\in \Lambda}| \phi_{jk}| \exp (\epsilon \sum^{d}_{j\quad =1}| \xi_ i|) \] (ici on note avec \(B_{\rho}\) et cercle de rayon \(\rho\) et de centre d'origine et par H(\(\Omega)\) l'ensemble des fonctions holomorphes dans \(\Omega)\). Ce résultat donne une version locale de la correspondance entre le (PC) et le \((PC)_{\xi}\). Une version semi-globale est donné par le théorème 2 dans la catégorie des fonctions holomorphes, et par le théorème 3 dans la catégorie des fonctions entières. Enfin, les estimations obtenues pour la solution du \((PC)_{\xi}\) permet d'obtenir une généralisation du résultat de Mizohata (loc. cit.). Pour finir l'A. donne aussi une application du (PC) pour une seule équation fuchsienne: il obtient une majoration de la solution holomorphe du \((PC)_{\xi}\), ce qui permet une application à la propagation de la regularité.