Eine Kennzeichnung des Büschelsatzes in Kettengeometrien. (A characterization of the pencil theorem in chain geometries) (Q1101952)

Nach einem früheren Ergebnis des Verf. [Monatsh. Math. 77, 1-9 (1973; Zbl 0253.50017)] gilt in einer Kettengeometrie \({\mathcal U}_ K\) über einer kommutativen und assoziativen K-Algebra \({\mathcal U}\) dann der Büschelsatz, wenn \({\mathcal U}\) fastquadratisch über K ist. Es wird gezeigt, daß sich in diesem Satz die Bedingung ``fastquadratisch'' durch eine schwächere Bedingung - ``schwach quadratisch'' genannt - ersetzen läßt: Für \(| K| >3\) folgt nämlich ``fastquadratisch'' stets aus ``schwach quadratisch'', für \(K=GF(3)\) gilt in jeder Kettengeometrie \({\mathcal U}_ K\) der Büschelsatz. Das ist der Ausgangspunkt für das zentrale Ergebnis dieses Artikels: Gilt in \({\mathcal U}_ K\) der Büschelsatz und ist \(| K| >11\), so ist \({\mathcal U}\) fastquadratisch (und daher auch schwach quadratisch) über K. Anhand von Algebren über GF(3) und GF(5) wird gezeigt, daß es Kettengeometrien \({\mathcal U}_ K\) gibt, in denen der Büschelsatz gilt ohne daß \({\mathcal U}\) fastquadratisch über K ist.