An interpolation theorem and operator ranges (Q1102506)

Soit H un espace de Hilbert, P un opérateur linéaire borné positif. Pour tout T opérateur linéaire borné on note \[ \| T\|_ P=Sup\{\| PTx\|;\| Px\| \leq 1\}. \] Alors \(\| T\|_ P\) est finie si et seulement si l'image de P est invariante par \(T^*.\) Les AA. améliorent deux théorèmes de J. Peetre (1966-1968) en montrant que par toute fonction \(\phi\) continue, positive concave, croissante definie sur \([0,\| P\|^ 2]\) (resp. \([0,\| P\|])\), alors \[ \| T\|_{\phi (P^ 2)^{1/2}}\leq \sqrt{2}\quad Max(\| T\|,\| T\|_ P),\quad (resp.\quad \| T\|_{\phi (P)}\leq 12\quad Max(\| T\|,\| T\|_ P)). \]