Asymptotic spherical symmetry of the free boundary in degenerate diffusion equations (Q1103124)

Betrachtet wird das nichtlineare Problem \[ (*)\quad u_ t=\Delta \eta (u)+f(u)\quad in\quad {\mathbb{R}}^ N\times]0,\infty [;\quad u(x,0)=u_ 0(x), \] wobei \(u_ 0\geq 0\) kompakten Träger hat und die nichtlineare Funktion \(\eta\) gewisse Bedingungen erfüllt. Die Menge \(\partial P(t)\), wobei \(P(t):=\{x\in {\mathbb{R}}^ N|\) \(u(x,t)>0\}\), ist der zu (*) gehörige freie Rand. Es wird gezeigt, daß es ein \(t_ 0\) gibt, so daß P(t) für \(t\geq t_ 0\) sternförmig ist. Weiterhin wird eine asymptotische sphärische Symmetrie des freien Randes gezeigt. Dazu sei \(F_ t: \{| \omega | =1\}\to \partial P(t)\) die Abbildung eines Punktes \(\omega\) auf den eindeutig bestimmten gemeinsamen Punkt von \(\partial P(t)\) und \(\{\) \(s\omega|\) \(s>0\}\). Der Autor beweist, daß für \(t\to \infty\) die Funktion \(F_ t\) nach einer Normierung zur identischen Abbildung der Einheitssphäre konvergiert.