Projective planes of order 15 and other odd composite orders (Q1103868)

Verf. betrachtet endliche projektive Ebenen einer Ordnung \(n=pq\), wobei p, q verschiedene ungerade Primzahlen sind. (Ob solche Ebenen existieren, ist nach wie vor eine offene Frage!) Ist \(p<q\) und G eine Kollineationsgruppe der Ebene, so gilt: \((i)\quad q<2p\Rightarrow\) jede q-Sylowgruppe von G hat Ordnung \(\leq q^ 2.\) (ii) Für \(q\not\equiv 1 (p),\quad q<2(p+1)\) hat jede p-Sylowgruppe von G eine Ordnung \(\leq p^ 3.\) (iii) Für \((q/p)=(p/q)=-1\) [(p/q) Legendre-Symbol] sind die q- Sylowgruppen von G nicht zyklisch von der Ordnung \(q^ 2\). Als Anwendung wird eine Übersicht über mögliche Kollinationsgruppen einer projektiven Ebene der Ordnung 15 gegeben: Jede solche Gruppe ist auflösbar und ihre Ordnung teilt eine der Zahlen \(2^ 6\), \(2^ 3\cdot 3^ 3\), \(2\cdot 5\), \(3\cdot 5\), \(2^ 3\cdot 3\cdot 7\), \(2^ 6\cdot 7\).