Minimal asymptotic bases with prescribed densities (Q1106265)

Eine Menge \(A\subseteq {\mathbb{N}}_0\) heißt asymptotische Basis \(h\)-ter Ordnung \((h \geq 2)\), wenn jedes genügend große \(z\in {\mathbb{N}}\) darstellbar ist als Summe von \(h\) Summanden aus \(A\). Ist \(A\) eine asymptotische Basis \(h\)-ter Ordnung mit der Eigenschaft, daß keine echte Teilmenge von \(A\) auch asymptotische Basis \(h\)-ter Ordnung ist, so heißt \(A\) asymptotische Minimalbasish-ter Ordnung. Für eine Menge \(A\subseteq {\mathbb{N}}_0\) ist die Anzahlfunktion gegeben durch \(A(x) = \text{card}(\{a\in A|\) \(1\leq a\leq X\})\); weiter heißt \(\lim_{x\to \infty}\inf (A(x)/x)\) die untere asymptotische Dichte und, wenn \(d(A) = \alpha = \lim_{x\to \infty}(A(x)/x)\) existiert, heißt \(\alpha\) die asymptotische Dichte von \(A\). In dieser Arbeit wird für jedes \(h \geq 2\) eine Klasse von asymptotischen Minimalbasen \(h\)-ter Ordnung mit \(d(A) = 1/h\) konstruiert (Theorem 2); ferner wird gezeigt, daß es für jedes \(\alpha \in (0,1/(2h-2))\) eine asymptotische Minimalbasis \(h\)-ter Ordnung mit \(d(A)=\alpha\) gibt (Theorem 3). Die Verff. beschließen die Arbeit mit zwei offenen Fragen.