Eine Klasse spezieller gemischter Ovale in STS(v). (On a class of special mixed ovals in STS(v)) (Q1107816)

Ein Oval O in einem STS(v), d.h. einem Steiner-Tripelsystem mit v Punkten, ist eine Teilmenge aus \(r=(v-1)/2\) Punkten, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Dann geht durch jeden Punkt von O genau eine Tangente. O heißt ein Knotenoval, wenn sich alle Tangenten in einem Punkt k, dem Knoten, schneiden. Dann geht auch durch jeden Punkt \(p\not\in O\cup \{k\}\) genau eine Tangente. In früheren Arbeiten wurde gezeigt: Für jedes \(v\equiv 1\) oder 3 mod 6 gibt es ein STS(v) mit mindestens einem Oval, im Fall \(v\equiv 3\) oder 7 mod 12 sogar eins mit einem Knotenoval. Die vorliegende Arbeit untersucht STS(v) mit \(v\equiv 3\) oder 7 mod 12 mit Ovalen, die keine Knotenovale sind. Es sei \(x_ i\) die Anzahl der Punkte \(p\not\in O\), von welchen genau i Tangenten ausgehen. Für gerade i ist \(x_ i=0\). Zunächst konstruiert der Verf. zwei STS(15) mit \[ x_ 1=6,\quad x_ 3=x_ 5=1,\quad x_ 7=0\quad bzw.\quad x_ 1=5,\quad x_ 3=3,\quad x_ 5=x_ 7=0. \] Dann stellt er für beliebiges \(v=12n+3\) oder 7 notwendige Bedingungen (zwei diophantische Gleichungen) für die Verteilung der Zahlen \(x_ 1\), \(x_ 3,..\). auf und konstruiert ein STS(v) mit der Verteilung \(x_{r- 2}=x_ 3=1\), \(x_ 1=r-1\) und \(x_ i=0\) für die übrigen i für jedes solche v mit \(v\geq 15\). Dazu modifiziert er die früher gegebene Konstruktion eines STS(v) mit Knotenoval aus einem STS(r) (nach dem ``Polygonverfahren'') wie folgt: Zu 6 Punkten a,b,c,a',b',k wobei a', b' dem Knotenoval angehören und k der Knoten ist, werden die Geraden \(\{a,b,c\}\), \(\{a',b',c'\}\), \(\{a,a',k\}\), \(\{b,b',k\}\) durch neue Geraden \(\{a,b,k\}\), \(\{a',b',k\}\), \(\{a,a',c\}\) und \(\{b,b',c\}\) ersetzt, unter Beibehaltung der übrigen Geraden (eine klassische Konstruktion).