Asymptotic expansion of solutions of nonlinear parabolic equations with small parameter under white noise (Q1110732)

Der Verf. untersucht die stochastische parabolische Differentialgleichung \[ \dot u^{\epsilon}(t,x)=\Delta u^{\epsilon}(t,x)- f(u^{\epsilon}(t,x))+\epsilon \dot w(t,x);\quad t\in [0,T],\quad x\in G,\quad \epsilon >0, \] wo \(G\subset E^ n\) ein beschränktes Gebiet mit einem glatten Rand \(\partial G\) ist. Die zugehörigen Rand- und Anfangsbedingungen sind: \(u|_{\partial G}=0\), \(u|_{t=0}=v_ 0(x)\). Der Parameter \(\epsilon\) ist klein vorausgesetzt und die Lösung (die als eine verallgemeinerte Funktion genommen wird) ist als eine Potenzreihe in \(\epsilon\) dargestellt: \(u^{\epsilon}=u_ 0+\epsilon u_ 1+...+\epsilon^ ku_ k+O(\epsilon^ k).\) Zugehörige Gleichungen für die Funktionen \(u_ 0,u_ 1,...,u_ k\) werden hergeleitet und ihre Eigenwerte und Eigenvektoren benützt. Eine ``starke'' Lösung der Aufgabe wird definiert und ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz, sowie auch eine Abschätzung für die Lösung, werden bewiesen.