About the proofs of Calabi's conjectures on compact Kähler manifolds (Q1111178)

Les AA. montrent l'existence d'une solution pour l'équation de Monge- Ampère complexe \(P_{\lambda}(\phi)=0\) avec \(\lambda\geq 0\). Les résultats ne sont pas nouveaux, la méthode non plus puisqu'il s'agit de la méthode de continuité, mais ils l'utilisent dans l'espace des fonctions \(C^{\infty}\). La partie ``ouvert'' de la démonstration est obtenue par une variante du théorème de Nash-Moser due au premier auteur. La partie ``fermé'' nécessite des estimés a-priori. Les estimés jusqu'à l'ordre 3 sont considérées comme connues, les estimés supérieurs sont obtenues par le même principe que les estimés à l'ordre 2 et 3, celle à l'ordre 4 présente quelques difficultés. Remarquons des erreurs dans cet article. Calabi s'est intéressé aux métriques d'Einstein-Kähler bien après 1976, année de la démonstration du théorème 1. La conjecture de Calabi correspond au théorème 2. L'usage par les AA. des signes \(=\) et \(\equiv\) n'est pas clair (voir page 110 par exemple). Le deuxième membre de (3) p. 115 doit être \(\phi_{ac'\alpha}\phi_{a'cb}\); p. 117 il est faux que \(\phi_{\alpha}-\phi_{\beta}\equiv 0\).