C-uniform distribution of entire functions (Q1111601)

Die Arbeit beweist einerseits den folgenden allgemeinen Satz über nichtkonstante ganze Funktionen f(z), die bei \(M(r)=\max_{| z| \leq r}| f(z)|\) der Wachtumsbedingung \[ \overline{\lim}_{r\to \infty}\frac{\log \log M(r)}{\log \log r}<\frac{3}{2} \] gehorchen: Sind alle Taylorkoeffizienten \(f_ n\) von f reell, dann ist f: \({\mathbb{R}}^+_ 0\to {\mathbb{R}}\) modulo 1 C-gleichverteilt. Ist für ein \(n\geq 1\) das Verhältnis \(Re(f_ n)/Im(f_ n)\) irrational oder gilt bei \(1\leq m\leq n\) für die Taylorkoeffizienten \(Re(f_ n)/Im(f_ n)\neq Re(f_ m)/Im(f_ m)\), dann ist f: \({\mathbb{R}}^+_ 0\to {\mathbb{C}}\) modulo 1 C-gleichverteilt, wenn \({\mathbb{C}}\) in üblicher Weise mit \({\mathbb{R}}^ 2\) identifiziert wird. Dieses Ergebnis kann man auch leicht auf zweidimensionale Flüsse \(f(z)=f(s+it)\) übertragen. Andererseits beweisen die Autoren für die Funktionen \(f(z)=e^{az}\) mit \(Re(a)>0\) und die Weierstraßsche Sigmafunktion \(f(z)=\sigma (z)\), die nicht der obigen Wachstumsbedingung gehorchen, die C- Gleichverteiltheit modulo 1, indem sie mit Hilfe der Ungleichung von Erdős und Turán die Diskrepanzabschätzung \(D_ T(f)=O(1/\sqrt{T})\) herleiten.