Linear independence measures for certain numbers (Q1112099)

Die ganze transzendente Funktion \(\displaystyle T(z,a):=\sum_{n\geq 0}a^{-n(n-1)/2} z^n\), \(| a| >1\), ist erstmals 1921 von L. Tschakaloff arithmetisch untersucht worden, der bei \(a, \alpha_1,\ldots,\alpha_m\in\mathbb{Q}^\times\) (unter natürlichen Zusatzbedingungen) die lineare Unabhängigkeit (l.U.) von \(1, T(\alpha_1,a),\ldots,T(\alpha_m,a)\) über \(\mathbb{Q}\) zeigen konnte. Diese Aussage wurde von \textit{I. Shiokawa} und dem Ref. [Result. Math. 7, 130--144 (1984; Zbl 0552.10021)] zu einem Maß für die l.U. quantitativ verfeinert. \textit{T. Skolem} [11. Skand. Mat. Kongr., Trondheim 1949, 77--98 (1952; Zbl 0048.03304)] hatte -- mit unterschiedlichem Beweisansatz -- sogar die l.U. von \(1\) und den \(T^{(j)}(\alpha_i,a)\) \((1\leq i\leq m\), \(0\leq j\leq n)\) für jedes \(n\in\mathbb{N}_0\) beweisen können. Der Autor gibt hier eine quantitative Fassung des Skolemschen Resultats. Seine Beweismethode ist die von Shiokawa und dem Ref. und so reduziert sich sein Hauptsatz für \(n=0\) naturgemäß auf deren Ergebnis. [Es sei erwähnt, daß der Autor in seiner in [Math. Ann. 284, No. 3, 449--460 (1989)] erscheinenden Arbeit ``Linear independence measures for values of Heine series'' (vgl. die Voranzeige in Zbl 0653.10031)] sein hier diskutiertes Hauptresultat auf eine \(T\) umfassende Funktionenklasse ausgedehnt hat.]