The convergence of inexact Chebyshev and Richardson iterative methods for solving linear systems (Q1113606)

Zur Lösung von \(Ax=b\) wird A gemäß \(A=M-N\) aufgespalten. Unter der Voraussetzung, daß \(M^{-1}A\) diagonalähnlich ist wird vorausgesetzt, daß das Spektrum von \(M^{-1}A\) in der rechten Halbebene liegt und sich in einer zur reellen Achse symmetrischen Ellipse befindet. Die exakte Chebyshev-Methode lautet dann \(x_ 1=x_ 0+\alpha z_ 0;\quad x_{k+1}=x_{k-1}+w_{k+1}(\alpha z_ k+x_ k-x_{k- 1})\) mit gewissen von den Brennpunkten obiger Ellipse abhängigen Parametern \(\alpha\) und \(w_{k+1}\). \(z_ k\) ist dabei die Lösung des Gleichungssystems \(Mz_ kA=b-Ax_ k.\) Es wird eine inexakte Version dieser Methode studiert, die davon ausgeht, daß das letzte Gleichungssystem nur näherungsweise gelöst wird. Es wird \(\| V^{-1}e_ k\|_ 2\) abgeschätzt, wobei \(e_ k\) der Fehlervektor dieser inexakten Methode ist. Die Fälle, daß A und M symmetrisch, oder daß M und N der symmetrische bzw. der schiefsymmetrische Anteil von A sind, werden ebenfalls studiert. Ferner wird das Verfahren betrachtet, das man erhält, wenn man \(w_{k+1}\) einer geeigneten Kostante setzt (Richardson-Verfahren 2. Ordnung). In verschiedenen Fällen wird geprüft, welche Auswirkungen Abschätzungen des Spektrums von \(M^{-1}A\) auf die Konvergenzgeschwindigkeit der Verfahren haben.