Dirichlet integral and energy of potentials on harmonic spaces with adjoint structure (Q1118070)

Sur X localement compact à base dénombrable, soit \({\mathcal H}\) et \({\mathcal H}^*\) 2 espaces \({\mathcal P}\)-harmoniques tels qu'il existe une fonction \(G: X\times X\to [0,+\infty],\) s.c.i. et continue hors de la diagonale, G(.,y)\(\in {\mathcal P}\), \({\mathcal H}\)-harmonique hors de y, G(x,.)\(\in {\mathcal P}^*\), \({\mathcal H}^*\)-harmonique hors de x, et tout \(p\in {\mathcal P}\cap {\mathcal C}\) (resp. \(p^*\in {\mathcal P}^*\cap {\mathcal C})\) admet une représentation unique \(p(x)=\int G(x,.)d\mu\) (resp. \(p^*(y)=\int G(.,y)d\nu,\) \(\mu\) et \(\nu\geq 0\). On suppose 1 \({\mathcal H}\) et \({\mathcal H}^*\) surharmonique. Soit \({\mathcal R}\) le faisceau des fonctions qui sont localement différence de 2 fonctions \({\mathcal H}\) surharmoniques continues; pour \(f\in {\mathcal R}(U)\) (U ouvert), soit \(\sigma\) (f) la mesure unique de signe quelconque sur U telle que \(| \sigma (f)|_ V\) engendre un \({\mathcal H}\) potentiel continu et \((f-G[\sigma (f)|_ V])|_ V\in {\mathcal H}(V),\) \(\forall V\) ouvert, \(\bar V\subset U\). Si \(f\in {\mathcal R}(X)\), on peut définir la mesure gradient \(\delta_ f=(1/2)[2f\sigma (f)-\sigma (f^ 2)-f^ 2\sigma (1)].\) L'Auteur démontre une formule de Green pour les f différences de 2 potentiels continus d'énergie \(finie:\) \(\delta_ f(X)\), \(| \sigma (f^ 2)| (X),\int f^ 2 d\sigma (1)\), \(\int | f| d| \sigma (f)| <+\infty,\) \(\delta_ f(X)+(1/2)\int f^ 2d\sigma (1)+(1/2)\sigma (f^ 2)(X)=\int fd\sigma (f)\), et \(\sigma (f^ 2)(X)\geq 0.\) Dans le cas où \({\mathcal H}\) est le faisceau des solutions de l'équation de la chaleur sur un domaine cylindrique \(X=\Omega \times (0,T)\) (\(\Omega\) domaine de \(R^ d)\), l'Auteur montre aussi que tout potentiel continu d'énergie finie sur X est \(L^ 2(0,T;H^ 1_ 0(\Omega))\cap L^{\infty}(0,T;L^ 2(\Omega)).\)