Réarrangement, inégalites maximales et théorèmes ergodiques fractionnaires. (Rearrangement, maximal inequalities and fractional ergodic theorems) (Q1120902)

Etant donné un semi-flot mesurable \((\theta_ x)_{x\in {\mathbb{R}}^ d_+}\) préservant une mesure de probabilité \(\mu\) sur un espace \(\Omega\), nous considérons les moyennes ergodiques \[ t^{- d}\int_{{\mathbb{R}}^ d_+}\phi (x/t)f\circ \theta_ xdx \] où \(\phi\) est un ``poids'' à support compact sur \({\mathbb{R}}^ d_+\), c'est-à- dire que \(\phi\) vérifie \(\phi\geq 0\) et \(\int \phi (x)dx=1\). Nous démontrons la convergence p.p. de ces moyennes quand \(t\to +\infty\) si f appartient à l'espace de Lorentz défini par le poids \(\phi^*\) qui est le réarrangé décroissant de \(\phi\). En particulier, pour \(d=1\), on obtient la convergence p.p. des moyennes de Cesàro d'ordre \(\alpha\) \[ \alpha t^{-\alpha}\int^{t}_{0}(t-x)^{\alpha -1}f\circ \theta_ xdx,\quad \alpha >0, \] si f appartient à l'espace de Lorentz usuel L(1/\(\alpha\),1). Nous démontrons aussi des résultats similaires pour des moyennes discrètes. Le point crucial de la démonstration est une nouvelle inégalité maximal ergodique. Enfin nous montrons que pour un poids \(\phi\) qui a une forme ``croissante'', en particulier pour les moyennes (C,\(\alpha)\) avec \(0<\alpha \leq 1\), l'espace de Lorentz est le plus grand espace invariant par réarrangement équimesurable, pour lequel cette convergence p.p. est vraie.