Globale Eigenschaften der Pseudostriktionslinien einer Regelfläche. (Global properties of generalized striction curves on a ruled surface) (Q1122148)

Als Pseudostriktionslinie \(s_{\alpha}\) einer windschiefen Regelfläche \(\Phi\) des euklidischen 3-Raumes wird jene Flächenkurve bezeichnet, in deren Punkten die Flächennormalen mit den zugehörigen Zentralnormalen den festen Winkel \(\alpha\) einschließen. Die Pseudostriktionslinie \(s_ 0\) ist demnach die Striktionslinie von \(\Phi\). Ist \(\Phi\) konstant gedrallt, so ist eine Pseudostriktionslinie eine Kurve konstanten Striktionsabstandes. Zur Gewinnung globaler Aussagen wird \(\Phi\) als eine von singulären und torsalen Erzeugenden freie \(C^ 2\)-Speerfläche vorausgesetzt. Es wird eine Flächenmasche M jenes Kurvennetzes von \(\Phi\) betrachtet, das aus den Erzeugenden und den Pseudostriktionslinien von \(\Phi\) besteht. Der Flächenmasche M wird auf dem Richtkegel von \(\Phi\) ein Richtkegelstück \(\psi_ m\) zugeordnet, das bestimmt wird durch Abtragen der entsprechenden Drallwerte von \(\Phi\) auf den Richtkegelerzeugenden, ausgehend von der Kegelspitze. Es gelingt dann, die Oberfläche O(M) der (zweifach gekrümmten) Flächenmasche M durch die Oberfläche des abwickelbaren Flächenstücks \(\psi_ m\) und durch zwei weitere geometrische Größen der an M beteiligten Pseudostriktionslinien auszudrücken. Für die Totalkrümmung von M und für die Oberflächenverzerrung von M bei sphärischer Abbildung ergeben sich verwandte Darstellungen. Die Oberfläche O(M) einer Böschungsregelfläche \(\Phi\) läßt sich auch mit Hilfe des orientierten Flächeninhalts des Normalrisses von M auf die Bezugsebene von \(\Phi\) angeben. Ist die \(C^ 2\)-Speerfläche \(\Phi\) geschlossen und bezeichnet \(K_{\Phi}\) ihre natürliche Gesamtkrümmung, so erhält der Betrag der geodätischen Gesamtkrümmung ihrer (ebenfalls geschlossenen) Pseudostriktionslinie \(s_{\alpha}\) die Darstellung \(K_{\Phi} | \sin \alpha |\). Abschließend wird der maximale Projektionsflächeninhalt einer geschlossenen Kurve als eine einfache globale Kurveninvariante hervorgehoben.