Über eine Klasse modifizierter \(\zeta\)- und \(L\)-Funktionen (Q1140677)

\textit{E. Grosswald} und \textit{F. J. Schnitzer} [Pac. J. Math. 74, 357--364 (1978; Zbl 0348.10029)] haben eine Klasse von Funktionen angegeben, die in der rechten Halbebene die gleiche Nullstellenverteilung wie die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion bzw. wie irgendeine Dirichletsche \(L\)-Funktion besitzen. In dieser Arbeit werden Ergebnisse angeführt, die die von Grosswald und Schnitzer verallgemeinern bis zu einer Grenze, die in gewissem Sinne bestmöglich ist. Ferner wird ein explizites Beispiel für eine modifizierte \(\zeta\)-Funktion angegeben, die sich nicht über die imaginäre Achse hinaus analytisch fortsetzen läßt. Ersetzt man in der Eulerschen Produktdarstellung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion \(\zeta(s) = \prod_n (1- p_n^{-s})^{-1}\), \(\Re s > 1\) die gewöhnlichen Primzahlen \(p_n\) durch beliebige reelle Zahlen \(q_n\), so erhebt sich die Frage, wie stark die \(q_n\) von den \(p_n\) abweichen können, damit noch gewisse analytische Eigenschaften für die entsprechend gebildete Funktion \(\zeta^*(s)\) erhalten bleiben. Werden mit \(\pi(x)\) bzw. \(Q(x)\) die Anzahlfunktionen bezeichnet und gilt für jedes \(\varepsilon >0\) \(Q(x) = \pi(x) + O(x^\varepsilon)\), so ist \(\zeta^*(s)\) in \(\Re s > 0\) holomorph bis auf einen einfachen Pol bei \(s=1\) und besitzt in \(\Re s > 0\) exakt die gleiche Nullstellenverteilung wie die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion. Ein entsprechendes Resultat läßt sich auch für \(L\)-Funktionen beweisen.