On a superdegenerate parabolic system (Q1174058)

Es wird ein entartetes nichtlineares parabolisches, nicht in Divergenzform vorliegendes System für Funktionen \(u=u(x,t)\), \(v=v(x,t)\) \((x\in(-1,+1), t\in\mathbb{R}^ +)\) untersucht, und zwar das folgende Anfangswert-Randwertproblem, das ein Modell für gewisse gesteuerte Diffusionsvorgänge ist: \[ {\partial \over \partial t}{u \choose v}={v\;0 \choose 0\;u}{\partial^ 2 \over \partial x^ 2}{u \choose v}+{f(u,v) \choose g(u,v)} \text{ in } (-1,+1)\times\mathbb{R}^ +, \] \[ {u \choose v}(- 1,t)={u \choose v}(+1,t)={0 \choose 0},\;t\geq0;\quad {u \choose v}(x,0)={u_ 0 \choose v_ 0},\;x\in[-1,+1] \] mit vorgegebenen \(u_ 0,v_ 0\in H_ 0^ 1(-1,+1)\) und \(C^ 1\)-Funktionen \(f\), \(g\), die gewisse Wachstumseigenschaften besitzen. Mittels Integralrelationen und einer geeigneten Klasse von Testfunktionen werden schwache Lösungen für obiges Problem definiert. Die Existenz schwacher Lösungen wird nachgewiesen über Existenz und Eindeutigkeit und mittels a-priori-Abschätzungen für eine Familie approximierender Probleme, deren Grenzelemente gerade schwache Lösungen des Ausgangsproblems sind. Es werden die Eigenschaften von \(\text{supp} u\) und \(\text{supp} v\) -- \((u,v)\) schwache Lösung -- in der Zeit \(t\) studiert. Besonderes Augenmerk wird dem quellenfreien Fall \(f=g=0\) geschenkt.