Regularity and asymptotic behaviour of the wave equation with a critical nonlinearity (Q1175252)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Cauchyschen Anfangswertproblem für die nichtlineare Wellengleichung in drei Raumdimensionen \[ u_{tt}-\Delta u+u^ 5=0,\quad t\geq t_ 0,\quad u(t_ 0,x)=u_ 0(x),\quad u_ t(t_ 0,x)=u_ 1(x). \leqno (1) \] Dabei ist \(u_ 1\in C^ 2(\mathbb{R}^ 3)\) und \(u_ 0\in C^ 3(\mathbb{R}^ 3)\). Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß (1) für \(t\in[t_ 0,+\infty)\) eine klassische und globale Lösung \(u=u(t,x)\) besitzt. Der Beweis beruht auf einer a priori Abschätzung der Lösung von (1) in der \(L^ \infty\)-Norm, die mit Hilfe geeigneter Multiplikatoren gewonnen wird. Durch dieses Resultat wird eine seit langem offene Frage in positivem Sinne beantwortet. Für den Spezialfall radialsymmetrischer Anfangsdaten ist dieser Satz enthalten in einem Resultat von \textit{M. Struwe} [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci, IV. Ser. 15, 495-513 (1988; Zbl 0728.35072)].