On the order structure in the line geometry of a projective space (Q1176179)

Der dritte Autor hat [Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. 49, 354-358 (1981; Zbl 0469.51006)] den Begriff Grassmann-Raum wie folgt eingeführt. Eine nichtleere Menge \(G\) von ``Punkten'' und eine Menge \(L\subseteq{\mathcal P}(G)\) von ``Geraden'', wobei jede Gerade mindestens 2 Punkte enthält und jeder Punkt in mindestens einer Geraden liegt, sowie je 2 Punkte höchstens eine Verbindungsgerade besitzen. 2 Punkte mit Verbindungsgerade heißen kollinear. Ferner wird gefordert: 3 paarweise kollineare Punkte liegen stets in einem Unterraum; eine Gerade ist kein maximaler Unterraum; die maximalen Unterräume verteilen sich auf 2 Familien \({\mathbf S}\), \({\mathbf P}\) wie folgt: (i) 2 Elemente von \({\mathbf S}\) treffen sich in genau einem Punkt; (ii) für \(B\in{\mathbf S}\), \(\pi\in{\mathbf P}\) ist \(B\cap\pi\) entweder leer oder eine Gerade; (iii) jede Gerade ist von der Gestalt \(B\cap\pi\) mit eindeutig bestimmten \(B\in{\mathbf S}\), \(\pi\in{\mathbf P}\). --- Klassisches Beispiel einer solchen Struktur ist der einem projektiven Raum \(\Pi\) zugeordnete Grassmann-Raum vom Index 1, \(\Gamma^ 1(\Pi)\), dessen ``Punkte'' die Geraden von \(\Pi\) und dessen ``Geraden'' die Geradenbüschel von \(\Pi\) sind. Hierbei ist \({\mathbf S}\) die Menge der Geradensterne (alle Geraden durch einen Punkt) und \({\mathbf P}\) die Menge der Geradenfelder (alle Geraden in einer Hyperebene). A. a. O. hat der dritte Autor gezeigt, daß jeder irreduzible Grassmann-Raum isomorph zu einem \(\Gamma^ 1(\Pi)\) ist. In der vorliegenden Abhandlung werden diese Betrachtungen auf angeordnete Grassmann-Räume ausgedehnt. Die Anordnung wird dabei mittels Ordnungsfunktionen beschrieben. Dazu benötigt man den Begriff ``Primkomplex'' (engl. ``prime''): eine Punktmenge \(H\) mit der Eigenschaft \(| H\cap\iota|=1\) oder \(\iota\subseteq H\) für alle \(\iota\in L\). In \(\Gamma^ 1(\Pi)\) handelt es sich dabei um die Geradenkomplexe (bei \(n=3\) Gewinde) der klassischen Liniengeometrie. Eine Ordnungsfunktion wird nun durch die Werte des Trennsymbols \((H,K\mid a,b)\in\{1,-1\}\) für Primkomplexe \(H\), \(K\) und Punkte \(a,b\not\in H\cup K\) festgelegt, wobei die 3 üblichen Bedingungen erfüllt sein müssen: Verkürzungsrelation, Sperners Relation (entsprechend Hyperebenenrelation in projektiven Ebenen) und: für \(a_ i=\iota\cap K_ i\) (\(\iota\in L\)) hat genau einer der 3 Terme \((H,K_ 1\mid a_ 2,a_ 3)\), \((H,K_ 2\mid a_ 3,a_ 1)\), \((H,K_ 3\mid a_ 1,a_ 2)\) den Wert \(-1\). Nach einem Abschnitt über die Eigenschaften von Primkomplexen und einem über die Herstellung einer Anordnung des Grassmann-Raumes \(\Gamma^ 1(\Pi)\) mit Hilfe einer Anordnung des projektiven Raumes \(\Pi\) wird der Hauptsatz bewiesen: Jeder angeordnete Grassmann-Raum ist isomorph zu einem passenden \(\Gamma^ 1(\Pi)\) mit angeordnetem projektiven Raum \(\Pi\).