Some extremal and uniquely extremal affine mappings with larger logarithmic dilatation (Q1177183)

Nach den Pionierarbeiten von H. Grötzsch hatte sich die Theorie der ``möglichst konformen Abbildungen'' (nach O. Teichmüller bisweilen auch ``extremal quasikonformen Abbildungen'') lebhaft entwickelt und zu schönen abschließenden Resultaten geführt. Natürlich hatte H. Grötzsch auch schon über das Analogon der Theorie im Raume nachgedacht, durch die unruhigen Zeitläufe bedingt jedoch nichts veröffentlicht. Er hatte dann nach dem Kriege E. Zimmermann (übrigens ein Bekannter von K. Löwner aus der Prager Zeit, dann Lehrer, nach dem Kriege noch eine zeitlang an der Universität in Halle tätig) --- der Name wird vom Verf. keck anglifiziert --- zu diesbezüglichen Untersuchungen angeregt: Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg, Math.-Nat. Reihe 5, 109--115 (1956; Zbl 0071.07601); 8, 1073--1076 (1959; Zbl 0093.27602). Es wurden einige Beispiele bei Zugrundelegung der Maximaldilatation behandelt. Der Referent [Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg, Math.-Naturwiss. Reihe 11, 729--732 (1962; Zbl 0142.33301)] hatte dann noch gezeigt, daß hierbei, ebenso wie bei der damals auch schon im Schwange befindlichen ``äußeren'' und ``inneren'' Dilatation i. allg. die möglichst konformen Abbildungen nicht eindeutig bestimmt sind, z.B. beim ``Grötzschschen Backsteinproblem'' (rectangular box problem of Grötzsch): zwei backsteinartige Körper sind möglichst konform unter Wahrung des Kantensystems aufeinander abzubilden. Der Referent hatte dadurch das Interesse für räumliche quasikonforme Abbildungen verloren, da diese in diesem Zusammenhange nicht so organisch erschienen. Nun ist vom Autor und R. Fehlmann ein bemerkenswerter neuer Anlauf unternommen worden, wobei jetzt die ``logarithmische'' Dilatation zugrunde gelegt wird, was tatsächlich natürlicher zu sein scheint. Es konnte u.a. für das Backsteinproblem eindeutige Extremalität für die zugehörige Affinität nachgewiesen werden, wenn die logarithmische Dilatation \(<\sqrt e=1,648\ldots\) ist. In vorligender Arbeit nun kann die Schranke zu \(2^{\sqrt{3/2}}=1,822\) verbessert werden. Dies mag als nur kleiner Fortschritt angesehen werden, ist aber wohl doch sehr bemerkenswert angesichts der hier obwaltenden Schwierigkeiten.