Characterizing principal curvature data as functions of the normal vectors and determining the surfaces (Q1178541)

Aus der Angewandten Analysis stammt das Problem, eine (flach- und nabelpunktfreie) Fläche \(M\) des \(R^3\) mit der Gaußschen Normalenabbildung \(G: M\to S^2\) aus ihren Hauptkrümmungen \(k_1,k_2\) als Funktionen der Einheitsnormalenvektoren von \(S^2\) zu rekonstruieren. Verf. betrachtet hierzu die vektorwertige Differentialform \(dg\) mit \(g:=G^{-1}\) und stellt zunächst die Integrierbarkeitsbedingungen für \(g\) auf (in die die Lage der Krümmungslinien von \(M\) eingeht). Dies führt auf ein inhomogenes elliptisches Differentialgleichungssystem \(u_x - v_y=f(x,y)\) und \(u_y + v_x=g(x,y)\), dessen Lösungsmöglichkeiten einmal im Fall von vorgegebenem \(1/k_1+1/k_2\) und dann im Fall von einzeln vorgegebenem \(k_1\) und \(k_2\) ausführlich diskutiert werden. [Anm. des Ref.: Bereits 1948 hatte \textit{W. Süss} [Arch. Math. 2, 103--104 (1950; Zbl 0041.08805)] alle Flächen zu vorgegebenem \(1/k_1+1/k_2\) durch Lösung einer inhomogenen elliptischen Differentialgleichung bestimmt.]