On billiard arcs (Q1179579)

Der Autor beschäftigt sich mit dem allgemeinen Deckelproblem für die Menge \({\mathfrak M}=O^ d_ 1\) aller Kurverstücke der Länge \(\leq 1\) im \(d\)-dimensionalen euklidischen Raum \(E^ d(d\geq 2)\). Ist \(\mathfrak M\) ein System von Teilmengen des \(E^ d\), so heißt \(D\subseteq E^ d\) Deckel (translation cover) für \(\mathfrak M\), wenn zu jeder Menge \(M\in\mathfrak M\) eine Translation \(\tau\) existiert mit \(M\subseteq\tau(D)\). Der zentrale Satz der Note lautet: Die kompakte konvexe Menge \(B\subseteq E^ d\) ist genau dann Deckel für \(O^ d_ 1\), wenn für die Dicke (minimal width) von \(B\) gilt \(w(B)\geq 1\). Dieser schöne Satz gestattet einerseits eine Beantwortung der Frage nach speziellen Deckeln (mit minimalem Umfang, Flächeninhalt, Durchmesser, Umkreis- oder Inkreis) für \(O^ 2_ 1\) \((d=2)\), und andererseits ist er Grundlage für die Behandlung analoger Fragen in höheren Dimensionen. Der Beweis des Satzes erfolgt in der Sprache der ``Billardwege'': \(b\) heißt (\(d\)- seitiger) Billardweg des konvexen Körpers \(B\subseteq E^ d\), wenn \(b\) ein Polygonzug aus \(d\) Strecken \(P_ iP_{i+1}(i=1,\dots,d-1)\) ist, dessen Ecken \(P_ i\) auf dem Rand von \(B\) liegen, wobei die Winkelhalbierenden von \(b\) in \(P_ i\) sowie Anfangs- und Endstrecke orthogonal zu den Stützhyperebenen von \(B\) in \(P_ i\) verlaufen.