Estimates of the incomplete beta-function in several real variables and parameters. (Q1181782)

Als eine Verallgemeinerung der klassischen unvollständigen Beta- Funktion \[ B_ x(p,q)=\int^ x_ 0 u^{p-1}(1-u)^{q-1}du=x^ p\int^ 1_ 0 u^{p-1}(1-xu)^{q-1}du \] \((0<x\leq 1, 0<p, 0<q)\) definiert das \(n\)-fache Integral \[ \int^ 1_ 0\int^{1-u_ 1}_ 0\dots \int^{1-u_ 1-\dots-u_{n-1}}_ 0 u_ 1^{p_ 1-1}\dots u_ n^{p_ n-1}(1-x_ 1u_ 1-\dots -x_ nu_ n)^{q-1}du_ n\dots du_ 2 du_ 1= \] \[ =x_ 1^{-p_ 1}\dots x_ n^{-p_ n}B_{x_ 1,\dots x_ n}(p_ 1,\dots ,p_ n;q) \] \((0<x_ 1\leq 1,\dots ,0<x_ n\leq 1; 0<p_ 1,\dots ,0<p_ n; 0<q)\) eine ebenfalls ``unvollständige Beta-Funktion'' genannte und kurz mit \(B_ x(p;q)\) bezeichnete Funktion der (vektoriellen) ``Variable'' \(x=(x_ 1,\dots ,x_ n)\), des (vektoriellen) ``Parameters'' \(p=(p_ 1,\dots ,p_ n)\) und des (skalaren) ``Parameters'' \(q\). Von dieser Funktion werden wir zeigen, daß sie die Ungleichung: \(B_ x(p;q+1)>B_ y(p;q+1)\) erfüllt, solange die Variable \(x\) den Bedingungen: \(p_ 1+\dots +p_ n+q\leq c=p_ 1/x_ 1+\dots +p_ n/x_ n\) und \(x\neq y\) \(y_ 1=\dots =y_ n=(p_ 1+\dots +p_ n)/c\) unterworfen bleibt.