Mappings of quadric Cauchy-Riemann manifolds (Q1183060)

On considère les variétés \(M\) dans \(\mathbb{C}^{m+d}\), dites de type \((d,m)\) (\(d\) et \(m>0)\), définies par d'équations \(\text{Im} w_ k=\langle A_ kz,\overline z\rangle\) dont les seconds membres sont des formes hermitiennes sur \(\mathbb{C}^ m\); à une telle \(M\) est associé dans \(\mathbb{R}^ d\) le cône enveloppe convexe de l'ensemble décrit par le point de coordonnées \(\langle A_ kz,\overline z\rangle\), \(z\in\mathbb{C}^ m\); on dit que \(M\) est Levi-nondégénérée si \(A_ kz=0\) \(\forall k\) équivaut à \(z=0\). Soient alors \(M\), de type \((d,m)\), ayant un cône associé d'intérieur nonvide et \(M'\), de type \((d',m)\), Levi-nondégénérée, \(\omega\) une partie ouverte et connexe de \(M\): si \(F\in{\mathcal C}^ 1(\omega,M')\) satisfait sur \(\omega\) aux équations de Cauchy-Riemann tangentielles et si, pour un point \(p\in\omega\), \(dF(p)\) est un isomorphisme de l'espace tangent complexe \(T_ pM\) (de dimension \(m)\) sur \(T_{F(p)}M'\), alors \(F\) se prolonge à \(\mathbb{C}^{m+d}\) en une application rationnelle, dont le degré est majoré par un nombre ne dépendant que du type \((d,m)\) de \(M\). Si \(M'\) est de type \((d',m')\), ce prolongement subsiste sous deux hypothèses nouvelles: le cône associé à \(M'\), diminué de l'origine, est contenu dans un demi-espace ouvert de \(\mathbb{R}^ d\); sur un voisinage de \(p\) dans \(\omega\), \(F\) est de classe \({\mathcal C}^ s\), où \(s=m'-r(p)+1\) et \(r(p)\) est le rang de \(dF(p):T_ pM\to T_{F(p)}M'\).