Theory of lattice points (Q1188257)

Dies ist ein Übersichtsartikel über die klassische und die moderne Theorie der Gitterpunkte in großen Bereichen, konzipiert für ein breites mathematisches Publikum. Der Verfasser berichtet zunächst vom Kreis- und vom Teilerproblem und formuliert den Satz von Jarnik-Steinhaus über den Gitterrest ebener Bereiche. Sodann wird die Van der Corput'sche Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen ihren Grundgedanken nach dargestellt. Besondere Aufmerksamkeit gilt allgemeinen Fragestellungen nach der Anzahl der Gitterpunkte in großen (durch ``Aufblasen'' erzeugten) ebenen Bereichen und konvexen Körpern des \(\mathbb{R}^ s\), unter geeigneten Voraussetzungen an die Glattheit und die Krümmung des Randes. Weiter werden arithmetische Anwendungen betrachtet wie die mittlere Größenordnung der Funktion \[ r_ k(n)=\#\{(u,v)\in\mathbb{Z}^ 2:\;| u|^ k+| v|^ k=n\} \qquad (k\geq 3) \] und die allgemeine \(p\)-dimensionale Teilerfunktion \[ d(a_ 1,\dots,a_ p;n) = \#\{(u_ 1,\dots,u_ p)\in\mathbb{N}^ p:\;u_ 1^{a_ 1}\dots u_ p^{a_ p}=n\} \qquad (a_ j\in\mathbb{N} \text{ fest}). \]