Power series and zeroes of trinomial equations (Q1188302)

Für \(m,n\in\mathbb{C}\), \(m\neq n\) sei \(f_{m,n}(X):=\sum_{j=0}^ \infty (1-jm)^{-1} {c(j) \choose j}X^ j\) mit \(c(j):=(1-jm)/(n-m)\) gesetzt, wobei man für \(j=1/m\) den Koeffizienten von \(X^ j\) zu \((-1)^{j- 1}/j(n-m)\) festgelegt. Die Verfasser zeigen, daß \(f_{m,n}\) die eindeutig bestimmte Lösung von \[ f(X)^ n-f(X)^ m=X, \qquad f(0)=1\text{ in }\mathbb{C}[X] \] ist. Ferner bestimmen sie den Konvergenzradius der Reihe \(f_{m,n}\) exakt. Sodann wenden sie diese Ergebnisse zur approximativen Ermittlung der Nullstellen von trinomischen Ausdrücken der Form \(a_ 1 X^{n_ 1}+a_ 2 X^{n_ 2}+a_ 3 X^{n_ 3}\) mit allen \(a_ j\in\mathbb{C}^*\) und paarweise verschiedenen \(n_ j\in\mathbb{C}\) an. Numerische Beispiele im Falle ganzer \(n_ 1>n_ 2>n_ 3:=0\) beschließen den Artikel.