Boundary Morera theorems for holomorphic functions of several complex variables (Q1190832)

Sei \(D\subset\mathbb{C}^ N\) ein beschränktes Gebiet und \(A(D):=C(\overline D)\cap{\mathcal O}(D)\). In der Arbeit geht es um die Frage, wann eine Funktion \(f\in C(\partial D)\) nach \(D\) holomorph fortsetzbar, d.h. Beschränkung einer Funktion aus \(A(D)\) ist. Eine notwendige und unter geeigneten Voraussetzungen auch hinreichende Bedingung ist die Fortsetzbarkeit von \(f\) auf Schnitten von \(D\) mit komplexen Geraden. Es geht um Verschärfungen derartiger Ergebnisse. Im ersten Abschnitt werden technische Hilfsmittel aus der geometrischen Maßtheorie zusammengestellt. Im zweiten Abschnitt werden beschränkte Gebiete \(D\subset\mathbb{C}^ N\) mit \(C^ 2\)-Rand studiert. Sei \(f\in C(\partial D)\) und \(1\leq k\leq N- 1\). \(f\) besitze die Eigenschaft (TCR), wenn \(f\) die schwachen tangentiellen Cauchy-Riemann-Gleichungen auf \(\partial D\) erfüllt, d.h., wenn für jede glatte \((N,N-2)\)-form \(\alpha\) auf \(\mathbb{C}^ N\) gilt: \[ \int_{\partial D}f\partial\overline\alpha=0. \] \(f\) besitze die Eigenschaft \((M_ k)\), wenn \(f\) bzgl. jeder komplexen \(k\)-Ebene \(\Lambda\), welche \(\partial D\) transversal schneidet, die Morera Eigenschaft besitzt, d.h., wenn für jede \((k,k-1)\)-Form \(\beta\) auf \(\mathbb{C}^ N\) gilt: \[ \int_{\Lambda\cap\partial D}f\beta=0. \] Ist \(f\) nach \(D\) holomorph fortsetzbar, so besitzt \(f\) die Eigenschaften (TCR) und \((M_ k)\). Besitzt \(f\) die Eigenschaft (TCR) und ist \(\partial D\) zusammenhängend, so ist \(f\) nach \(D\) holomorph fortsetzbar. Mit Hilfe der Fouriertransformation und des Satzes von Fubini zeigen die Autoren: Theorem: Besitzt \(f\) die Eigenschaft \((M_ k)\), so besitzt \(f\) die Eigenschaft (TCR), ist also nach \(D\) holomorph fortsetzbar, wenn \(\partial D\) zusammenhängend ist. Das Studium des Beweises legt die Betrachtung sogenannter komplexer \(k\)- Wellen nahe. \(\varphi:\mathbb{C}^ N\to\mathbb{C}\) heißt eine \(k\)-Welle, wenn nach einem geeigneten linearen Koordinatenwechsel \(\varphi\) nur noch von den Variablen \(z_ 1,\dots,z_ k\) abhängt. Die Autoren beweisen Approximationssätze für \(C^ \infty\)-Funktionen durch Linearkombinationen von \(k\)-Wellen. Sie leiten damit Verschärfungen des Theorems ab, die darauf abzielen, beim Testen der Eigenschaft \((M_ k)\) nicht alle transversalen komplexen \(k\)-Ebenen zu benutzen. Zum Beispiel: Theorem: Sei \(K\subset D\) kompakt. Besitzt \(f\) bzgl. jeder \(k\)-Ebene, die \(\partial D\) transversal schneidet und \(K\) nicht trifft, die Morera Eigenschaft, so besitzt \(f\) die Eigenschaft (TCR). Für den Ball \(D=\mathbb{B}_ 2\) in \(\mathbb{C}^ 2\) wird ein wesentlich schärferes Ergebnis abgeleitet. Im dritten Abschnitt werden beschränkte konvexe Gebiete \(D\subset\mathbb{C}^ N\) behandelt, wobei keine Differenzierbarkeitsforderungen an \(\partial D\) gestellt werden. Die Autoren beweisen die folgenden Theoreme: Theorem: Sei \(\Pi\subset\mathbb{C}^ N\) eine reelle Hyperfläche, die \(D\) trifft, sei \(\Gamma\) eine Komponente von \(\partial D\backslash\Pi\) und sei \(f\in C(\Gamma)\). Mit \(\text{conv} \Gamma\) bezeichnen wir die konvexe Hülle von \(\Gamma\). Besitzt \(f\) die Morera Eigenschaft bzgl. der komplexen \(k\)-Ebenen, die \(D\) treffen und \(\Gamma\) in einer kompakten Menge schneiden, so gibt es eine holomorphe Funktion auf dem Innern von \(\text{conv} \Gamma\), welche längs \(\Gamma\) durch \(f\) stetig ergänzt wird. Theorem: Seien \(\Pi,\Gamma\) wie oben und \(f\in C(\Gamma)\). \(f\) besitze auf \(\Gamma\) die Eigenschaft (TCR). Dann gibt es eine stetige Funktion \(F\) auf \(\text{conv} \Gamma\), die holomorph auf dem Innern von \(\text{conv} \Gamma\) ist und auf \(\Gamma\) mit \(f\) übereinstimmt. Ist \(f\) auf \(\overline\Gamma\) stetig fortsetzbar, so ist \(F\) auf \(\text{conv} \overline\Gamma\) stetig fortsetzbar. Mit einigen Anmerkungen und Fragen im 4. Abschnitt beschließen die Autoren ihre Arbeit.