Invariants of certain Lie actions. Instability of the Fredholm character (Q1191456)

Soient \(M\) une variété \(C^ \infty\)-différentiable de dimension finie, \(D^*(M)\) l'espace des formes différentielles complexes à support compact dans \(M\) et \(G\) un groupe de Lie des transformations sur \(M\). L'action de \(g\in G\) sur \(\omega\in D^*(M)\) sera notée par \(g\omega\). Soit \(B^*\) l'espace vectoriel topologique engendré par les images des opérateurs \(A_ g\) définis par \(A_ g(\omega)=\omega- g\omega\) ou la dérivée de Lie \(L_ \xi\) (\(\xi\) est un champ fondamental sur \(M\)). Le but de cette Note est de décrire explicitement l'espace \(B^*\) lorsque \(G\) est le groupe des transformations affines agissant de manière localement libre (les sous-groupes d'isotropie sont discrets) en préservant un volume continu sur une 3-variété compacte à groupe fondamental résoluble. Sur l'espace des fonctions \(C^ \infty(S^ 1)\) il existe un opérateur de Fredholm \(F\) (\(\text{Im }F\) est fermée et le noyau et le conoyau de \(F\) sont de dimension finie) qui peut être approché aussi près qu'on veut pour une certaine norme par un opérateur presque-semi-Fredholm.