A uniqueness theorem for a nonlinear hyperbolic equation (Q1192126)

Soit \(\Omega\) un domaine borné de \(\mathbb{R}^ n\), qui a une frontière suffisamment régulière. Pour l'équation \[ u_{tt}-\sum^ n_{i=1}{\partial\over\partial x_ i}a_ i(x,t,u_{x_ 1},\dots,u_{x_ n})=f(x,t),\quad (x,t)\in\Omega\times[0,T] \tag{I} \] il s'agit du problème \[ u(x,0)=u_ 0(x),\quad u_ t(x,0)=u_ 1(x),\quad x\in\Omega;\quad u(x,t)=0\quad\text{ sur }\partial\Omega\times[0,T], \tag{II} \] où chaque fonction \(a_ i(x,t,\eta_ 1,\dots,\eta_ n)\), définie sur \(\Omega\times[0,T]\times \mathbb{R}^ n\) et continue en \(x\) et \(t\), satisfait aux conditions: \[ | a_ i(\dots)|\leq K_ 0\left(\sum^ n_{i=1}|\eta_ i|^{p-1}+1\right) \text{ pour quelque }p\geq 2;\;\partial_{\eta_ j}a_ i(\dots)=\partial_{\eta_ i}a_ j(\dots),\;i,j=1,\dots,n; \] \[ \alpha\sum^ n_{i=1}\xi^ 2_ i\leq\sum^ n_{i,j=1}\partial_{\eta_ j}a_ i(\dots)\xi_ i\xi _ j\leq\sum^ n_{i=1}(|\eta_ i|^{p-2}+1)k_ i\xi^ 2_ i; \] \[ \sum^ n_{i,j=1}\partial^ 2_{\eta_ i,t}a_ i(\dots)\xi_ i\xi_ j\geq- H(t)\sum^ n_{i=1} \partial_{\eta_ j}a_ i(\dots)\xi_ i\xi_ j; \] \[ \sum^ n_{i,j=1}\partial^ 2_{\eta_ j\eta_ h}a_ i(\dots)\xi_ i\xi_ j\leq 0,\quad h=1,\dots,n, \] avec \(K_ 0>0\), \(\alpha>0\), \(k_ i\geq 0\) constantes, \(H(t)\in L^ 1(0,T)\) et positive. Dans ce travail on demontre que le problème (I)--(II) a au plus une solution faible selon la définition donnée par l'auteur dans ce même travail.