Power of words and recognizability of fixpoints of a substitution (Q1193907)

Soit \({\mathcal A}\) un ensemble fini de cardinal \(g\geq 2\), appelé alphabet, et \(\sigma\) une substitution sur \({\mathcal A}\), c'est-à-dire une application de \({\mathcal A}\) dans \({\mathcal A}^*\) prolongée par concaténation à \({\mathcal A}^*\) et à \({\mathcal A}^ \mathbb{N}\), admettant un point fixe \(u\) non périodique. Nous montrons que pour \(N\) assez grand \(u\) ne contient aucune puissance \(N\)-ème de mot pour la concaténation si l'on fait l'hypothèse que \(\sigma\) est primitive. Nous donnons ensuite une condition nécessaire et suffisante pour que \(\sigma\) soit reconnaissable au sens de \textit{B. Host} [Ergodic Theory Dyn. Syst. 6, 529-540 (1986; Zbl 0625.28011)] et \textit{M. Queffélec} [Substitution dynamical systems-spectral analyses, Lect. Notes Math. 1294, Berlin, Springer-Verlag (1987; Zbl 0642.28013)], et nous montrons qu'il suffit de ``bilatéraliser'' cette définition pour obtenir une propriété vérifiée cette fois par toutes les substitutions primitives à point fixe non périodique: il existe un entier \(L>0\) tel que si \(u(i-L)\dots u(i+L)=u(j-L)\dots u(j+L)\), et \(i\in E_ 1=\{0\}\cup\{|\sigma(u[0,p-1])|\); \(p>0\}\) alors \(j\in E_ 1\).