Functional calculus in fractional Sobolev spaces (Q1202210)

Quelles sont les fonctions de la variable réelle qui agissent, par composition à gauche, sur l'espace \(H_ p^ s(\mathbb{R}^ n)=(1- \Delta)^{-s/2}(L^ p(\mathbb{R}^ n))\) (\(s\geq 0\), \(1<p<+\infty\))? La réponse à cette question est déjà connue dans trois cas: (i) \(s\) entier, (ii) \(0<s<1\), (iii) \(1+(1/p)<s<n/p\); dans le troisième cas, le calcul fonctionnel est trivial: seules les fonctions \(t\to ct\) opèrent. En outre, pour \(s\geq n/p\), toute fonction ``raisonnable'' (par exemple, de la classe de Schwartz) opère sur \(H_ p^ s(\mathbb{R}^ n)\). On se propose d'établir la non-trivialité du calcul fonctionnel pour \(1<s<1+(1/p)\); à cet effet, on montre le théorème suivant: pour toute fonction \(F\), de la variable réelle, telle que \(F(0)=0\) et que \(F'\) soit à variation bornée sur \(\mathbb{R}\), il existe une constante \(C=C(F,n,s,p)>0\) telle que, pour tout \(f\in H_ p^ s(\mathbb{R}^ n)\), à valeurs réelles, on ait \(\| F\circ f\|_{H_ p^ s}\leq C\| f\|_{H_ p^ s}\).