Hypoellipticity for some infinitely degenerate elliptic operators of second order (Q1202855)

Cet article concerne le problème de l'hypoellipticité d'opérateurs elliptiques dégénérés du type \[ (1) \quad L=D^ 2_ t+f(t) D^ 2_ x+g(x) D^ 2_ y; \qquad (2) \quad \widetilde {L}= D^ 2_ t+f(t) D^ 2_ x+ g(t,x)D^ 2_ y \] où \(f\) et \(g\) sont des fonctions \(C^ \infty\) satisfaisant les conditions: Dans le cas (1): (3) \(f(0)=g(0)=0\), \(f(t)>0\) si \(t\neq 0\), \(g(x)>0\), si \(x\neq 0\). Dans le cas (2): (4) \(g(t,x)\geq 0\), \(f(0)=0\), \(f(t)>0\) si \(t\neq 0\). Certains résultats ont été obtenus auparavant dans cette direction. L'auteur démontre les deux théorèmes suivants. Théorème 1. Si \(L\), donné par (1), satisfait (3), alors les deux conditions \(\lim_{t\to 0} | t\log f(t)|=0\), \(\lim_{x\to 0} | x\log x|=0\) entraînent l'hypoellipticité de \(L\). Théorème 2. Soit \(\widetilde{L}\), donné par (2) satisfaisant (4). Alors les conditions suivantes: (1) Il existe \(G(t)\) t.q. \(g(t,x)\leq G(t)\), \(G\) vérifiant \(\lim_{t\to 0} \sqrt{G(t)} | t\log f(t)|=0\). (2) \(L\) est hypoelliptiques dans \(\mathbb{R}^ 3\setminus \{(t,x)=(0,0)\}\) entrainent l'hypoellipticité de \(L\). L'auteur utilise la méthode dite d'énergie micro-locale, en estimant des normes dans des espaces de Sobolev d'ordres différents suivant les variables.