On the differentiability of continuous functions -- Ampère's proof and its consequences (Q1203015)

Der Satz von Ampère (1806) lautet in der später hauptsächlich auftretenden Fassung von Lacroix (1810): Die Existenz des Limes (des Differenzenquotienten) kann unmittelbar in sehr einfacher Weise bewiesen werden. Isolierte Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit sind zugelassen. Von Einfluß besonders auf Cauchy war das Lemma von Ampère: Bei positiven \(b_ k\) liegt \((a_ 1+\cdots+a_ n)/(b_ 1+\cdots+b_ n)\) zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der \(a_ i/b_ i\). Verf. gibt eine enzyklopädische Zusammenstellung der Spuren, die Ampères Darstellung hinterlassen hat, ohne Gründe für den lange andauernden Einfluß zu suchen. Zur Klärung tragen die Bemerkungen bei, daß Ampère wohl einen direkten Beweis des Mittelwertsatzes angestrebt habe, und daß zu seiner Zeit die Ableitungsfunktion (intervallweise) interessierte und nicht der Ableitungswert (punktweise). Nicht weiter verfolgt wird Ampères grenzwertfreie Definition der Ableitung: Der Differenzenquotient zum Intervall \([a,b]\) liegt zwischen Ableitungswerten an Stellen in \((a,b)\).