About the surfaces of reference of constant middle distance of straight line congruences of the simple isotropic space (Q1207036)

Der Autor behandelt spezielle Flächen, die in einer Geradenkongruenz des einfach isotropen Raumes enthalten sind. Zentraler Untersuchungsgegenstand sind dabei jene Flächen, die von der Mittenfläche konstanten Abstand besitzen (``Leitflächen konstanten Mittenabstandes''). Vorerst wird jene Abbildung betrachtet, die zwischen zwei Leitflächen von den Kongruenzstrahlen vermittelt wird. Diese Abbildung ist z.B. flächentreu, wenn die Orthogonaltrajektorien der Hauptkurven geodätische Linien der Mittenflächen sind. Weiter wird gezeigt, daß keine isotrope Kongruenz existiert, bei der diese Abbildung konform ist. Sodann wird mit Hilfe von Paaren von Leitflächen, die einen gegebenen Kongruenzstrahl unter gleichem Winkel schneiden, eine Kennzeichnung der Brennpunkte einer hyperbolischen Kongruenz gefunden. Der nächste Abschnitt befaßt sich mit den von den Tangentialebenen an die Leitflächen längs eines Kongruenzstrahles erzeugten Torsen. Hierbei ergibt sich insbesondere, daß im allgemeinen Fall diese Torsen von dritter Klasse sind und eine kubische Parabel als Gratfläche haben. Der letzte Abschnitt behandelt gewisse Begleitregelflächen einer Kongruenzgeraden, die mit den Leitflächen konstanten Mittenabstandes zusammenhängen. Ausgangspunkt dieser Überlegungen ist jene durch den betrachteten Kongruenzstrahl gehende Fläche \(\Phi\), die die Mittenfläche in einer Orthogonaltrajektorie der Hauptkurven schneidet. Es wird nun jene Begleitregelfläche \(\Gamma\) konstruiert, die von den Tangenten an die Schnittkurven von \(\Phi\) mit den Leitflächen konstanten Mittenabstandes gebildet wird. Hierbei ergibt sich z.B.: Sind die Begleitregelflächen \(\Gamma\) aller Kongruenzgeraden zueinander kongruent, so besitzen sämtliche Kongruenzflächen \(\Phi\) den gleichen konstanten Drall.