Direct derivation of necessary conditions in the calculus of variations for multiple integrals according to ideas of Carathéodory (Q1207653)

Carathéodory hat seinen Königsweg zur Herleitung von lokalen Bedingungen für den Minimalwert eines Funktionals, dessen Wert durch ein Integral bestimmt ist, nur zur Herleitung der hinreichenden beschritten. Zur Herleitung der notwendigen bei Mehrfachintegralen erfolgt in dieser Arbeit, unter Benutzung des Satzes von Gauß, zunächst der Übergang vom ursprünglichen zu einem äquivalenten globalen Minimalproblem mit dem Minimalwert Null. Daraus wird mittels des Prinzips, wonach die Funktionen, die in einem gegebenen Bereich den Minimalwert liefern, diesen auch in jedem Teilbereich ergeben (Extremprinzip), eine integralfreie (lokale) Bedingung für das Minimum gewonnen (Lemma von Carathéodory). Erst von da an sind zusätzliche Differentiationsvoraussetzungen zur Ableitung der sogenannten Fundamentalformeln erforderlich, aus denen sich dann, in bekannter Weise, alle lokalen Kriterien herleiten lassen.