Cauchy multiplication and periodic functions \((\text{mod }r)\) (Q1210102)

Die Verfasser untersuchen das Cauchy-Produkt \((f\circ g)(n)=\sum_{a+b\equiv n\bmod r} f(a) g(b)\) von \(r\)-geraden und \(r\)- periodischen Funktionen unter funktionalanalytischem Aspekt. Sie geben ein Kriterium für Inverse an und untersuchen die Operation \(T_ \gamma: f\mapsto \gamma\circ f\). Für zwei konkrete Funktionen \(\gamma\), die mit Lösungen von Systemen linearer Kongruenzen unter Nebenbedingungen zusammenhängen, sind die Ramanujan-Summen \(C(n,r)\) Eigenfunktionen mit Eigenwerten \(\mu(r)\) bzw. \(\lambda(r)\). Die \(r\)- geraden Funktionen bilden einen Hilbertraum mit Orthonormalbasis \(\{(r\Phi(d))^{-1/2} C( \cdot ,d): d\mid r\}\).