Density estimates with methods of uniform distribution mod 1 (Q1236852)

Es seien \(\vec{X_1},\dots,\vec{X_n}\) (\(\vec{X_j}=(X_1^{(j)},\dots, X_m^{(j)})\), \(m\geq 1\) und \(1\leq j\leq N\)) \(N\) unabhängige \(m\)-dimensionale Zufallsvariable mit gleicher unbekannter Verteilungsfunktion \(f(\vec{x})=f(x_1,\dots, x_n)\). Bezeichnen wir mit \(_nK_n(\vec{x})\) bzw. \(_nK_n^*(\vec{x})\) den \(m\)-dimensionalen Fejér-Kern bzw. Jackson-Kern der Ordnung \(n\), so kann durch \[ f_N^*(x)=\frac 1N \sum_{j=1}^N {}_nK_n(\vec{x}-\vec{X_j})\quad\text{bzw.}\quad f_N^{**}(x)=\frac 1N \sum_{j=1}^N {}_nK_n^*(\vec{x}-\vec{X_j}) \] eine Schätzung der unbekannten Dichte gewonnen werden. Neben Abschätzungen für den Erwartungswert, mittleren quadratischen Fehler und ``mean integrated square error'' wird u.a. folgendes Hauptresultat bewiesen: Erfüllt \(f(\vec{x})\) eine Lipschitzbedingung der Ordnung 1, so gilt fur die Schätzung \(f_N^*(\vec{x})\) fast sicher \[ f_N^*(x)-f(x)=o\left(\rho_N/N^{1/(2n+1)}\right), \] wobei \(\rho_N\) eine nicht negative Folge mit \(\lim_{N\to\infty} \frac{\rho_N}{\log N}=\infty\) sei. Analoge Ergebnisse werden für stetige Funktionen \(f\) bewiesen, die einen bestimmten Stetigkeitsmodul \(\omega(\delta)\) besitzen. Mit Methoden der Gleichverteilung mod 1 werden abschliessend gleichmässige Dichteschätzungen hergeleitet, indem eine Schätzung \(\tilde f_N\) konstruiert wird, fur die gilt \[ \|\tilde f_N-f\|_\infty=o \left(\rho_N/N^{(n(n+2))}\right). \] Die Voraussetzungen sind dabei dieselben wie im oben angeführten Satz.