Rings mit only finitely many isomorphism classes of maximal indecomposable Cohen-Macaulay modules (Q1239196)

Es werden noethersche lokale Ringe untersucht, die nur endlich viele Isomorphieklassen von unzerlegbaren Cohen-Macaulay Moduln besitzen, deren Tiefe mit der Dimension des Rings übereinstimmen. Für einen solchen Ring bezeichne \(n(R)\) die Anzahl der Isomorphieklassen dieser Moduln. Reguläre Ringe sind dadurch charakterisiert, daß \(n(R) = 1\), Lemma 1.1. Für einen Gorensteinring \(R\) gilt \(n(R)<\infty\) genau dann, wenn \(R\) ein abstrakter Hyperflächenring ist, Satz 1.2. Eine weitere Klasse von Ringen mit \(n(R)<\infty\) ist die folgende (1.7): Es sei \(A\) ein kompletter 2-dimensionaler regulärer Ring, \(R\) ein reiner Unterrring von \(A\), so daß \(A\) ein endlich erzeugter \(R\)-Modul ist, dann gilt \(n(R) = [L:K]\), wobei \(L\) und \(K\) die jeweiligen Quotientenkörper sind. Beispiele dieser Art sind Invariantenringe endlicher Gruppen. In \S 2 werden homologische Eigenschaften von Ringen mit \(n(R)<\infty\) untersucht. Insbesondere wird gezeigt, daß die Poincaré-Reihen von Moduln über solchen Ringen rational sind. In \S 3 schließlich wird angegeben (Satz 3.2), wie man im konkreten Fall von Invariantenringen einer zyklischen Gruppe, die auf den 1-Formen von \(K[[X]]\) operiert, die Poincaré-Reihen berechnen kann.