Commutative cancellative semigroups without idempotents (Q1239278)

In dieser Arbeit werden kürzbare abelsche Halbgruppen ohne Idempotente (sogenannte CCIF-Halbgruppen) untersucht. Da jede CCIF-Halbgruppe ein Halbverband von \(\mathfrak{R}\)-Halbgruppen ist, kann man hoffen, dass sich Methoden und Ergebnisse aus der Theorie der \(\mathfrak{R}\)-Halbgruppen auf CCIF-Halbgruppen übertragen lassen. Dieser Überlegung folgt der vorliegende Aufsatz. Im einzelnen wird gezeigt: Für jede CCIF-Halbgruppe \(S\) ist \(\Hom (S,\mathbb{R}) = \{0\}\). Die CCIF-Halbgruppen sind eine bestimmte Klasse von Schreier-Erweiterungen von \(Z_{+}\) mit einem kürzba- ren abelschen Monoid. Man gewinnt daraus Charakterisierungen der CCIF-Halbgruppen als subdirekte Produkte von kürzbaren abelschen Monoiden und Unterhalbgruppen von \(\mathbb{R}\), und die Aussagen für \(\mathfrak{R}\)-Halbgruppen lassen sich größtenteils übertragen. Besonders untersucht werden dann die sogenannten \(\bar{\mathfrak{R}}\)-Halbgruppen, d.h. CCIF-Halbgruppen deren Strukturhalbgruppe eine abelsche Gruppe ist. Für eine \(\bar{\mathfrak{R}}\)-Halbgruppe \(S\) ist insbesondere \(\Hom(S,{\mathbb{R}}_{+}^{0}) \neq 0\), und daher ist \(S\) subdirektes Produkt einer abelschen Gruppe und einer Unterhalbgruppe von \({\mathbb{R}}_{+}^{0}\). Es stellt sich die Frage, für welche CCIF-Halbgruppen \(\Hom (S,{\mathbb{R}}_{+}^{0})\neq 0\) gilt, d.h., welche als subdirektes Produkt mit einer Unterhalbgruppe von \({\mathfrak{R}}_{+}^{0}\) dargestellt werden können. Zu diesem Problem enthält die Arbeit im letzten Abschnitt Aussagen für Spezialfälle, etwa CCIF- Halbgruppen von endlichem Rang. Schließlich wird gezeigt, daß die CCIF-Halbgruppen mit \(\Hom (S,{\mathbb{R}}_{+}) \neq \emptyset\) gerade die \(\mathfrak{R}'\)-Halbgruppen, Unterhalbgruppen von \(\mathfrak{R}\)-Halbgruppen sind.