Die Mathematische Staatsstelle. III (Q1249560)

Verf. setzt die Analyse der mathematischen Stelle 546 BC im achten Buch von Platons \glqq Staat\grqq{} fort, die sich auf die Teile I und II dieser Untersuchung gründet (Zu Teil I, II vgl. ibid. 8, 1--8 (1971; Zbl 0256.01003); 12, 174--185 (1974; Zbl 0286.01002); s. a. Zbl 0268.01002]. Zu Beginn wird noch ein Fehler des Aristoteles in der Deutung dieser Platon-Stelle aufgedeckt, der in den Teilen I und II unbemerkt blieb. In der vorliegenden Arbeit wird die Platon-Stelle von τὴν μὲν bis zu τριάδος analysiert. Verf. zeigt unter anderem: Die traditionelle Auffassung, daß Platon in diesem Text von zwei Harmonien spricht ist fehlerhaft, denn Platon spricht nicht von zwei Harmonien, sondern von zwei Vermehrungen. Das Rechnen mit diesen Vermehrungen hat nicht mathematischen sondern philosophischen Sinn. Die Bildung der unendlichen Reihen von rationalen und irrationalen pythagorei\-schen \glqq Diagonalen\grqq{} für verschiedene Rechtecke stützt sich auf algebraisch-geometri\-sche Theorie, die beweist, daß die Pythagoreer mit algebraischen Umformungen vertraut waren. Eine solche Umformung läßt für ein beliebiges Rechteck eine unendliche Menge von unendlichen Reihen von wechselweise spitzwinkeligen und stumpfwinkeligen Dreiecken bilden, bei denen die Seiten unbegrenzt größer werden, und zwei Seiten jedes Dreiecks im konstanten Verhältnis bleiben, das dem Verhältnis der Seiten des Rechtecks gleich ist. Jede unendliche Reihe von diesen Dreiecken strebt einem unendlich großen rechtwinkligen Dreieck zu, dessen Kathe\-ten Seiten eines unendlichen Rechtecks sind, das dem ursprünglichen endlichen Rechteck ähnlich ist. Die aktuellen unendlichen Dreiecke, die dieser Theorie zugrunde liegen, beweisen, daß die Pythagoreer schon zwei Jahrtausende vor Cantor den Begriff \glqq aktuelle Unendlichkeit \grqq{} in die Mathematik eingeführt hatten, und ihre Theorie über die Seiten- und Diagonalzahlen, die Platon nicht vergebens \glqq hauptsächliche menschliche Geburt\grqq{} nennt (Abh. II, S. 179), auf diesen Begriff stützten. Der Kampf des Aristoteles gegen diesen Begriff (Physik 203a ff,) zeigt, wie groß der Widerstand gegen die pythagoreischen mathematischen Theorien war, die sich auf diesen Begriff stützten. Dieser Widerstand spiegelte sich auch darin wider, daß \glqq Euklids Elemente\grqq{} kein Wort von dieser Errungenschaft der pythagoreischen mathematischen Schule enthalten. Die hauptsächliche Bedeutung der Enträtselung dieser wunderschönen Platon-Stelle besteht darin, daß sie diese Lücke in unseren Kenntnissen über die Errungenschaften der pythagoreischen Mathematiker ausfüllt. Schon zwei Jahrtausende vor Bombelli und Gataldi hatten sie (in geometrischer Form) unregelmäßige unendliche Kettenbrüche in die Mathematik eingeführt. Die Bedeutung der Analyse dieser Platon-Stelle besteht auch darin, daß sie einen Zusammenhang zwischen dieser Stelle und der Theodoros-Stelle in Platons Dialog \glqq Theaetet\grqq{} entdeckt, der wiederum diese berühmte Platon-Stelle enträtseln läßt. Die pythagoreische Theorie über die Seiten- und Diagonalzahlen kannte sowohl Platon als auch sein Lehrer -- Theodoros, den Diogenes Laertius \glqq Pythagoreer\grqq{} nennt. Wahrscheinlich kannte Platon diese Theorie von Theodoros.