Bases and nonbases of square-free integers (Q1258774)

Eine Menge \(B\subseteq\mathbb N_0\) heißt (asymptotische) Basis (2. Ordnung), wenn jedes \(n\in\mathbb N\) (\(n\geq N\)) darstellbar ist als \(n=b_i+b_j\) mit \(b_i,b_i\in B\). Eine Basis B heißt Minimalbasis, wenn keine echte Teilmenge von B Basis ist. - Eine Menge \(A\subseteq\mathbb N_0\) heißt (asymptotische) Nichtbasis (2. Ordnung), wenn A keine Basis ist. Eine Nichtbasis heißt maximale Nichtbasis, wenn jede echte Obermenge von A eine Basis ist. - Weiter heißt eine Basis B r-Minimalbasis (\(r\in\mathbb N\)), wenn für beliebige \(b_1,b_2,\dots,b_k\in B\) die Menge \(B\setminus\{ b_1,\dots,b_k\}\) Basis ist, falls \(k< r\), aber Nichtbasis ist, falls \(k\geq r\). Demnach sind 1-Minimalbasen die oben definierten Minimalbasen. Diese Definition wird auch auf \(r=\aleph_0\) erweitert: Eine Basis B heißt \(\aleph_0\)-Minimalbasis, wenn für jede endliche Teilmenge \(B^*\subseteq B\) die Menge \(B\setminus B^*\) Basis ist, aber für jede unendliche Teilmenge \(B^*\subseteq B\) die Menge \(B\setminus B^*\) Nichtbasis ist. Eine Menge \(\aleph_0\)-Minimalbasis ist also eine Basis, die keine Minimalbasis im oben definierten Sinn enthält. - Eine Nichtbasis A heißt s-maximale Nichtbasis (\(s\in\mathbb N\)) bezüglich einer Menge \(C\subseteq\mathbb N_0\), wenn für beliebige \(s_1,c_2,\dots,c_k\in C\setminus A\) die Menge \(A\cup\{c_1,\dots,c_k\}\) Nichtbasis ist, falls \(k< s\), aber Basis ist, falls \(k\geq s\). Mit Hilfe einiger Lemmata über die Menge Q der positiven quadratfreien Zahlen werden dann folgende interessanten Sätze bewiesen: Theorem 1: Es gibt eine Teilmenge von Q, die \(\aleph_0\)-Minimalbasis ist. Theorem 2: Für jedes \(r\in\mathbb N\) gibt es eine Teilmenge von Q, die r-Minimalbasis ist. Theorem 3: Es gibt keine Teilmenge von Q, die maximale Nichtbasis ist. Theorem 4: Für jedes \(s\in\mathbb N\) gibt es eine Teilmenge von Q, die s-maximale Nichtbasis bezüglich Q ist. Theorem 5: Es gibt eine Teilmenge von Q, die Nichtbasis ist, aber nicht enthalten ist in einer bezüglich Q maximalen Nichtbasis \(\subseteq Q\).