Linear forms in finite sets of integers (Q1265272)

Sei \(A\subseteq \mathbb{N}_0\) \((A\neq\emptyset)\) and \(h\in \mathbb{N}\). Die Summenmengen \(hA\) ist die Menge aller Zahlen, die sich als Summe von genau \(h\) nicht notwendig verschiedenen Elementen aus \(A\) darstellen lassen. Für \(r\geq 1\) nichtleere Mengen \(A_1,\dots, A_r\subseteq \mathbb{N}\) and \(h_1,\dots, h_r\in \mathbb{N}\) ist die Menge (1) \(h_1A_1+\cdots+ h_rA_r\) die Menge aller Zahlen, die sich in der Form \(b_1+\cdots+ b_r\) mit \(b_i\in h_iA_i\) \((i=1,\dots, r)\) darstellen lassen. Die Menge (1) heißt dann lineare Form in den Mengen \(A_1,\dots, A_r\). Für ein System \(A_1,\dots, A_r\) von endlichen Mengen mit den Eigenschaften \(0\in A_i\) \((i=1,\dots, r)\) und \(\emptyset\neq \bigcup_{i=1}^r A_i\setminus \{0\}\) mit ggT=1 wird als Hauptresultat (Theorem 2) die lineare Form \(h_1A_1+\dots+ h_rA_r\) für genügend große \(h_i\) vollständig charakterisiert. Dieses Ergebnis bedeutet eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{M. B. Nathanson} [Am. Math. Mon. 79. 1010-1012 (1972; Zbl 0251.07202) und Additive number theory: Inverse problems and the geometry of sumsets, Graduate Texts Math. 165 (1996; Zbl 0859.11003)].