The topology of generalized conics (Q1268027)

Im \(d\)-dimensionalen (metrischen Punkt-) Raum \(\mathbb{R}^d\) \((d\geq 2)\) mit der Norm \(\|\cdot\|\) sei eine ``Brennpunktkonfiguration'' gegeben, bestehend aus \(n(\geq 2)\) Punkten \(b_1,\dots,b_n\) (Brennpunkte) und zugehörigen Gewichten \(\alpha_1,\dots, \alpha_n\in \mathbb{R}\smallsetminus \{0\}\). Mit Hilfe des ``verallgemeinerten Radius'' \(r(x): =\alpha_1\| x-b_1\|+ \cdots+ \alpha_n \| x-b_n \|\) werden die -- unabhängig von der Raumdimension \(d\) als ``verallgemeinerte Kegelschnitte'' bezeichneten -- Punktmengen \(K(r,n): =\{x \in \mathbb{R}^d \mid r(x)= r\}\) sowie die zugeordneten Punktmengen \(E(r,n): =\{x\in \mathbb{R}^d \mid r(x) \leq r\}\) definiert. Verf. untersucht nun u.a.: die Übertragbarkeit von Eigenschaften der klassischen Kegelschnitte \((d=n=2)\), Inneres und Rand der \(E(r,n)\), Differenzierbarkeit der \(K(r,n)\), Klassifikation der topologischen Typen der \(K(r,n)\) für die 2-Norm. Beispielsweise gilt im Falle positiver Gewichte: Alle \(K(r,n)\) sind kompakt, ihr abgeschlossenes Inneres \(E(r,n)\) ist jeweils konvex und kompakt; für jede endliche Brennpunktkonfiguration ist die Fermat-Torricelli-Menge, das heißt die Menge aller Punkte mit minimalem Radius, in jeder Norm \(\|\cdot\|\) nichtleer. Läßt man auch negative Gewichte zu, so braucht \(E(r,n)\) weder kompakt noch konvex zu sein.