Bipotential elliptic differential operators (Q1268699)

Parmi les opérateurs elliptiques du deuxième ordre sur un ouvert \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^n\) \((n\geq 2)\), de la forme \[ L= \sum_{i,j} a_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}+ \sum_{i}b_i \frac{\partial}{\partial x_i}, \] à coefficients localement lipschitziens, on considère ceux pour lesquels il existe sur \(\Omega\): ou bien un \(L\)-potentiel \(q\) et un \(\Delta\)-potentiel \(p>0\) (resp.: une fonction \(\Delta\)-harmonique \(h>0\)) tels que \(Lq=-p\) (resp.: \(-h\)); ou bien une fonction \(L\)-surharmonique \(u\), minorée par une fonction \(L\)-harmonique hors d'une partie compacte de \(\Omega\), et un \(\Delta\)-potentiel \(p>0\) tels que \(Lu=-p\). De nombreux exemples et contre-exemples éclairent les définitions de ces trois classes et les diverses variantes que l'on établit, telles que celles-ci: pour la troisième classe, on a une définition équivalente en imposant à \(u\) de ne pas être \(L\)-harmonique et remplaçant \(p\) par une fonction \(\Delta\)-surharmonique \(>0\); une autre en imposant à \(p\) un support harmonique ponctuel, donné ou non.