On the morphisms of complete intersection in characteristic \(p\) (Q1271896)

Soit \(A\) un anneau local noethérien contenant un corps de caractéristique \(p>0\). Soit \(\varphi_A:A\to A\), \(\varphi_A(a)=a^p\) le morphisme de Frobenius, et soit \({^\varphi A}\) la \(A\)-algèbre \(A\) avec le morphisme structural \(\varphi_A\). On a le théorème suivant: Théorème. Les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) l'anneau \(A\) est régulier; (ii) l'homomorphisme \(\varphi_A\) est plat; (iii) la dimension plate de \(\varphi_A\) est finie. La version relative de ce résultat a été étudiée par André, Dumitrescu, et Radu. Avec un homomorphisme \(\lambda\): \(A\to B\) d'anneaux noethériens contenant un corps de caractéristique \(p>0\), on peut considérer l'homomorphisme \(\omega\): \({^\varphi A}\otimes_AB\to{^\varphi B}\), \(\omega(a\otimes b)=\lambda(a)b^p\), où \(^\varphi B\) est la \(B\)-algèbre \(B\) avec le morphisme structural \(\varphi_B\). On a: Théorème. Les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) l'homomorphisme \(\lambda\) est régulier; (ii) l'homomorphisme \(\omega\) est plat; (iii) l'homomorphisme \(\lambda\) est plat et la dimension plate de \(\omega\) est finie. On va donner caractérisations similaires des anneaux et des homomorphismes d'intersection complète. La notion de dimension d'intersection complète [cf. \textit{L. L. Avramov}, \textit{V. N. Gasharov} et \textit{I. V. Peeva}, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 86, 67-114 (1997; Zbl 0918.13008)] joue un rôle-clef.