Perturbation of microhypoelliptic operators (Q1277171)

Soient \(n\geq 3\) et \(2\leq k\leq n-1\). Pour \(x= (x_1,\dots, x_n)\in \mathbb{R}^n\), on note \(x''= (x_1,\dots, x_{k-1})\in \mathbb{R}^{k-1}\) et \(x'= (x'',x_n)\in \mathbb{R}^k\). Soit \(A= a(x'',D')\) un opérateur différentiel du second ordre sur \(\mathbb{R}^n\), dont le symbole \(a\) ne dépend que de \(x''\) et de \(\xi'\). On note \(\widetilde A\) pour \(A\) considéré en taut qu'opérateur sur \(\mathbb{R}^k\). Soient \(B= \sum_{k\leq j\leq n-1} L^*_j L_j\) (où \(L_j= D_j- ix_j D_n\) et \(P= A+B\). Soit \(\rho\in T^*\mathbb{R}^n\setminus 0\), \(\rho= (y,\eta)\), \(|\eta|= 1\), \(y_k=\cdots= y_{n-1}= 0\), \(\eta_k=\cdots= \eta_{n-1}= 0\), \(\eta_n>0\). On définit \(\widetilde\rho\in T^*\mathbb{R}^k\setminus 0\) par \(\widetilde\rho= (y',\eta')\). Sous certaines hypothèses sur \(a\), on prouve que \(P\) est microhypoelliptique en \(\rho\) si et seuelement si \(\widetilde A\) est microhypoelliptique en \(\widetilde\rho\).